Question

已知函数f（x）=ax²+2x+c，若不等式f（x）<0的解集是{x|-4<x<2}.

（1）求f（x）的解析式；

（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义证明；

（3）若函数f（x）在区间[m，m+2]上的最小值为-5，求实数m的值.

Answer

（1）（2）单调递增，证明见解析（3）1或5

【解析】

利用二次函数小于零的解集，可以判断-4，2时f(x)=0的解，利用韦达定理，可求得a，c的值；根据单调性定义法（1.取值，2作差，3定号，4下结论），证明函数的单调性；利用函数的单调性确定函数最小值，从而求得m值

因为不等式f（x）<0的解集是{x|-40,故：f（x1）-f（x2）<0,因此：f（x1）-1时，f（x）在区间[m，m+2]上为递增，则最小值

解得：m=-3(舍)，m=1

当m<-3时，f（x）在区间[m，m+2]上为递减，

则最小值，

解得：m=-5或m=-1(舍)

故：答案为：m=1或m=-5