Question

如图，内接于圆，是圆的直径，四边形为平行四边形，平面，，已知与平面所成的角为，且；

（1）求证:平面平面；

（2）记，表示三棱锥的体积，求的表达式及最大值；

Answer

（1）证明见解析；（2），.

【解析】

（1）可证平面，从而得到平面平面.

（2）可证为与平面所成的角为，从而可得，又可证平面，从而，利用基本不等式可求的最大值.

（1）因为内接于圆，是圆的直径，所以，

因为四边形为平行四边形，故，所以.

因为平面，平面，故，所以，

因为，故平面，而平面，

故平面平面.

（2）因为四边形为平行四边形，故，

由（1）可知，，故，，

因为，故平面，

所以为与平面所成的角，故.

在中，，故.

故，其中.

由基本不等式有，当且仅当时等号成立，

故.