Question

已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为.

（Ⅰ）若为等边三角形，求椭圆的方程；

（Ⅱ）若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）或．

【解析】

试题（1）由为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合可求，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把

转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求

试题解析：（1）为等边三角形，则

椭圆的方程为：；

（2）容易求得椭圆的方程为，

当直线的斜率不存在时，其方程为，不符合题意；

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由得，设，

则，

∵，

∴，

即

解得，即，

故直线的方程为或.