Question

已知函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移（）个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为2．

（ⅰ）求函数的解析式；  （ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得．

Answer

（1）；（2）（ⅰ）； （ⅱ）证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）因为

．

所以函数的最小正周期．

（Ⅱ）（Ⅰ）将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，

再向下平移（）个单位长度后得到的图象．

又已知函数的最大值为，所以，解得．

所以．

（Ⅱ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，

就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数，

使得，即．

由知，存在，使得．

由正弦函数的性质可知，当时，均有．

因为的周期为，

所以当（）时，均有．

因为对任意的整数，，

所以对任意的正整数，都存在正整数，使得．

亦即存在无穷多个互不相同的正整数，使得．