Question

设函数的图象在处取得极值4.

（1）求函数的单调区间；

（2）对于函数，若存在两个不等正数，，当时，函数的值域是，则把区间叫函数的“正保值区间”.问函数是否存在“正保值区间”，若存在，求出所有的“正保值区间”；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）的递增区间是和，递减区间是；（2）不存在，理由见解析.

【解析】

（1）由极值求出参数，由导数的正负确定单调区间；

（2）根据函数的单调性分类讨论，首先确定两个极值点不能在上，再按函数在上的单调性求解．

（1），

依题意则有：，即解得 ,

∴.令，

由解得或，

所以函数的递增区间是和，递减区间是；

（2）设函数的“正保值区间”是，因为，故极值点不在区间上；

①若极值点在区间，此时，在此区间上的最大值是4，不可能等于；故在区间上没有极值点；

②若在上单调递增，即或，

则，即，解得或不符合要求；

③若在上单调减，即，则，

两式相减并除得：， ①

两式相除可得，即，

整理并除以得：，②

由①、②可得，即s，t是方程的两根，

解得，，但不合要求.

综上可得不存在满足条件的s、t，即函数不存在“正保值区间”