Question

已知函数在时有最大值和最小值，设.

（1）求实数的值；

（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）在区间上是增函数，代入数据计算得到答案.

（2）转化为在上恒成立，设，得到，计算得到答案.

（3）令，则方程化为，根据函数图像得到答案.

（1）函数，

因为，所以在区间上是增函数，故，解得.

（2）由已知可得，则，

所以不等式，

转化为在上恒成立，

设，则，即，在，上恒成立，

即，∵，∴，

∴当时，取得最小值，最小值为，则，即.

所以的取值范围是.

（3）方程可化为：

，，

令，则方程化为，，

∵方程有三个不同的实数解，

∴由的图象知，

，，有两个根、，

且或，.

记，

则，即，此时，

或得，此时无解，

综上.