Question

在数列中，，且对任意，都有．

（1）计算，，，由此推测的通项公式，并用数学归纳法证明；

（2）若（），求无穷数列的前项之和与的最大项．

Answer

（1），，．推测，见解析

（2）前项和为，最大项为．

【解析】

（1）直接由所给递推公式计算，并归纳，然后用数学归纳法证明；

（2）无穷数列的前项的和可以分成两个等比数列的和，由此可计算和，然后对分类，其偶数项递减，奇数项递增，但所有奇数项都满足，因此有最大．

【解析】
（1）∵，且对任意，都有．

∴，，．

由此推测的通项公式，．

下面利用数学归纳法证明：

①当时，成立；

②假设当时，．

则时， ，

因此当时也成立，

综上：，成立．

（2）（），

∴，

∴无穷数列的各项之和.

当（）时，，单调递减，因此当时，取得最大值．

当（）时，，单调递增，且．

综上可得：的最大项为．