Question

已知点是曲线：上的动点，延长（是坐标原点）到，使得，点的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程；

（2）若点，分别是曲线的左、右焦点，求的取值范围；

（3）过点且不垂直轴的直线与曲线交于，两点，求面积的最大值．

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

（1）用动点转移法求轨迹方程，即设，，由已知用表示，并把代入方程可得方程；

（2）设，则．求出后可得取值范围；

（3）设，则．设经过点的直线方程为：，，．由直线与椭圆相交弦试公式（用韦达定理求解）得弦长，求出到直线的距离后可表示出的面积，注意引入三角恒等变换，设，可化简表达式，从而求得最值．

【解析】
（1）设，，∵，∴，可得，代入，可得，

∴曲线的方程为．

（2），．设，则． 则

，

∵，∴．

（3）设，则．

设经过点的直线方程为：，，．

联立，

消去得：，

∴，，

∴，

点到直线的距离．

∴．

令，

则，令，

∴，

则，

当且仅当时，取得最大值．