Question

已知函数，且是奇函数．

（1）求的值；

（2）判断函数的单调性，并用定义证明；

（3）解关于的不等式．

Answer

（1）；（2）在上是增函数，证明见解析；（3）

【解析】

（1）根据函数的奇偶性，可得，可得结果.

（2）通过做差变形，可得，然后判断符号，可得结果.

（3）利用函数的单调性以及奇偶性，可得，然后计算可得结果.

（1）；

因为是奇函数，

所以，解得．

经检验：当时，显然为奇函数，

故．

（2）在上是增函数，证明如下：

任取，，且，

则

即

由，得，，

所以，即，

所以函数在上是增函数．

（3）

等价于，

等价于，

得．

而是定义在上的奇函数，

所以．

显然与的定义域和单调性都相同，

所以，

得，则．

故不等式的解集是．