Question

已知函数的定义域为，对任意的，有，当时，，且．

（1）证明：；

（2）探讨函数的奇偶性；

（3）当时，求函数的最小值．

Answer

（1）见解析；（2）奇函数；（3）．

【解析】

（1）对进行取值，可得结果.

（2）令，根据（1）的结论，可得结果.

（3）利用定义法证明函数的单调性，通过在定义域中，假设，然后根据条件计算，可得，可得单调性，最后可得结果.

（1）由题可知，

∴当，时，，

∴．

（2）函数定义域为，当时，

有．

由（1）知，，

∴，即．

∴函数为奇函数．

（3）设，，且，则．

又∵当时，，

∴．

又对任意的，有，

∴，

∴，

∴，

∴函数为定义域是的减函数．

∴当时，．

又，

∴．

即当时，的最小值为．