Question

如图，在五面体中，四边形为矩形，为等边三角形，且平面平面.

（1）证明：平面平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

取中点，则,从而平面,进而可得平面,由面面垂直的判定即可得证;

取中点，以为坐标原点，为轴建系.利用空间向量法,求出直线的方向向量和平面的法向量,求出向量和夹角的余弦值即可.

证明：取中点，因为为等边三角形,所以，

又平面平面，且平面平面，

所以平面，则，

又，所以平面，

又平面，所以平面平面.

取中点，由知平面平面，

所以平面，

如图.以为坐标原点，为轴建系.设长度为，

则点坐标为：，

因为，所以平面，

又平面平面，平面

由线面平行的性质知,，

由共线向量定理知,存在唯一实数使，

因为,所以点.

则，

由于，所以，

解得.于是，

设平面的法向量为,

因为,

所以,解得，

从而平面的法向量为

又直线的方向向量为，

记直线与平面所成角为，

所以

所以直线与平面所成角的正弦值为