已知函数，为自然对数的底数. （1）讨论的单调性；（2）若函数的图象与直线交于...

已知函数，为自然对数的底数.

（1）讨论的单调性；

（2）若函数的图象与直线交于两点，线段中点的横坐标为，证明：（为函数的导函数）

（1）见解析（2）见解析【解析】（1）由题可知，， ①当时，令，则， ∴ 令，则， ∴； ②当时，； ③当时，令，则，∴，令，则， ∴，综上：当时，在上单调递减，在上单调递增．当时，在上单调递增．当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）∵， ∴，当时，在上单调递增，与直线不可能有两个交点，故．令，则；令，则，故在上单调递增，在上单调递减．不妨设，且，要证，需证，即证，又，所以只需证，即证：当时，．设，则， ∴在上单调递减，又，故，原不等式成立．

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考点分析：

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某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生的选考方案待确定.例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案.

某学校为了解高一年级名学生选考科目的意向，随机选取名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：

性别	选考方案确定情况	物理	化学	生物	历史	地理	政治
男生	选考方案确定的有人
选考方案待确定的有人
女生	选考方案确定的有人
选考方案待确定的有人