Question

已知多面体的底面是边长为的菱形，底面，，且.

（1）证明：平面平面；

（2）若，求三棱锥的体积.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

试题（1）通过证明平面，而，所以平面，由面面垂直的判定定理证明；（2）由（1）知平面，所以是三棱锥的高，而为直角三角形，易算出三棱锥的体积．

试题解析：（1）证明：连接，交于点，设中点为，连接，.因为，分别为，的中点，所以，且，因为，且，所以，且.

所以四边形为平行四边形，所以，即.

因为平面，平面，所以.

因为是菱形，所以.因为，所以平面.

因为，所以平面.

因为平面，所以平面平面.

（2）因为，所以是等边三角形，所以.

又因为平面，平面，所以.

所以.

因为面，所以是三棱锥的高.

因为，

所以 .