Question

如图，已知抛物线，过点任作一直线与相交于两点，过点作轴的平行线与直线相交于点（为坐标原点）.

(1)证明：动点在定直线上；

(2)作的任意一条切线（不含轴）与直线相交于点，与（1）中的定直线相交于点，证明：为定值，并求此定值.

Answer

（1）详见解析，（2）8.

【解析】

试题（1）依题意可设的方程为，代人，得即，设，则有，直线的方程为的方程为，解得交点的坐标，利用，即可求得点在定直线上；（2）依据题意得，切线的方程为，代入得即．由得，分别令得得的坐标为，从而可知为定值．

试题解析：（1）依题意可设的方程为，代人，得，

即，设，则有，

直线的方程为的方程为，解得交点的坐标为，

注意到及，则有，

因此点在定直线上．

（2）依题意,切线的斜率存在且不等于．

设切线的方程为，代人得，即．

由得，化简整理得．故切线的方程可写为．

分别令，得的坐标为，

则，即为定值．