Question

已知双曲线，圆.若双曲线的一条渐近线与圆相切，则当取得最大值时，的实轴长为__________．

Answer

【解析】

首先利用直线与圆相切确定a,b的关系，然后利用导函数研究函数取得最大值时双曲线的实轴长度即可.

双曲线的一条渐近线方程为：，

圆与双曲线的渐近线相切，则圆心到直线的距离等于半径，即：，

据此可知：，则，

故 ，

令，

则 ，

由导函数与原函数的单调性的关于可知：

函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

当时，取得最大值时，此时的实轴长为.