Question

如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE＝2，M为线段BF上一点，且DM⊥平面ACE．

（1）求BM的长；

（2）求二面角A﹣DM﹣B的余弦值的大小．

Answer

(1)；(2).

【解析】

（1）根据DM⊥平面ACE，找出线线垂直，在平面四边形EFBD中根据垂直关系求得线段长度；

（2）由题可知直线垂直于平面，故可过与中点作垂线，找到二面角的平面角，从而在三角形中求解角度的大小即可.

（1）记与的交点为，连接，如下图所示：

因为平面，平面，

故，

又因为//，可以确定一个平面，故均在平面中；

因为四边形是菱形，且，故可得；

故在矩形中：

因为，故可得，

又因为，，

故可得，故可得.

即.

（2）记与的交点为，连接，如下图所示：

因为四边形为菱形，故可得，

又因为平面BDEF⊥平面ABCD，且平面BDEF平面ABCD

且平面，，

故可得平面；

由（1）可知，故即为二面角A﹣DM﹣B的平面角；

在中，容易知，故

在中，又，解得；

在菱形中，容易知.

故在中，因为，，故由勾股定理可得，

故.

二面角A﹣DM﹣B的余弦值的大小为.