Question

已知函数.

（1）当时，求的极值；

（2）当时，讨论的单调性；

（3）若对任意的，，恒有成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）极小值，无极大值；（2）参考解析；（3）

【解析】

试题第一问，将代入中确定函数的解析式，对进行求导，判断的单调性，确定在时，函数有极小值，但无极大值，在解题过程中，注意函数的定义域；第二问，对求导，的根为和，所以要判断函数的单调性，需对和的大小进行3种情况的讨论；第三问，由第二问可知，当时，在为减函数，所以为最大值，为最小值，所以的最大值可以求出来，因为对任意的恒成立，所以，将的最大值代入后，，又是一个恒成立，整理表达式，即对任意恒成立，所以再求即可.

试题解析：（1）当时，

由,解得.

∴在上是减函数，在上是增函数.

∴的极小值为，无极大值.

（2）.

①当时，在和上是减函数，在上是增函数；

②当时，在上是减函数；

③当时，在和上是减函数，在上是增函数.

（3）当时，由（2）可知在上是减函数，

∴.

由对任意的恒成立，

∴

即对任意恒成立，

即对任意恒成立，

由于当时，，∴.