Question

如图，四棱柱的底面为正方形，为底面中心，平面，.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面.

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）由题设条件证得，进而平面；

（2）通过题设条件先证明平面，得到，又可证得，因此，综合条件易证得平面.

证明：（1）在四棱柱中，

侧面和侧面是平行四边形，

所以，，

∴，四边形为平行四边形，∴，

又平面，平面，∴平面；

（2）∵底面为正方形，为的中心，所以，

∵平面，平面，∴，

∴，平面，平面，

∴平面，∵平面，∴；

∵底面为正方形，，

∴，，

又∵平面，平面，∴，

∴，，

∵，∴，即，

在四棱柱中，侧面是平行四边形，

所以，∴；

∵，平面，平面，

∴平面.