Question

如图，半圆的直径为2，为直径延长线上的一点，，为半圆上任意一点，以为一边作等边三角形.设.

（1）当，求四边形的面积；

（2）当为何值时，线段最长并求最长值.

Answer

（1）（2）当时，的最大值为3

【解析】

（1）利用余弦定理求出AB，分别求出的面积即可；

（2）根据余弦定理，正弦定理用表示出，利用余弦定理得出OC关于的函数，根据三角恒等变换求出最值.

【解析】
（1）在中，由余弦定理得

于是四边形的面积为

（2）在中，由余弦定理得

，

∴，∴，

在中，由正弦定理得，

即，

又，所以为锐角，∴，

∴

，

在中，由余弦定理得：

.

∵，

∴当时，的最大值为3.