Question

在直角坐标系xOy下，曲线C₁的参数方程为（ 为参数），曲线C₁在变换T：的作用下变成曲线C₂．

（1）求曲线C₂的普通方程；

（2）若m>1，求曲线C₂与曲线C₃：y=m|x|-m的公共点的个数．

Answer

（1）．（2）4

【解析】

（1）先求出曲线C1的普通方程，再根据图象变换可求出曲线C2的普通方程；

（2）由题意可得上的点在椭圆E：外，当时，曲线的方程化为，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理可得当时，曲线C2与曲线C3有且只有两个不同的公共点，又曲线C2与曲线C3都关于y轴对称，从而可得结论．

【解析】
（1）因为曲线C1的参数方程为

所以曲线C1的普通方程为，

将变换T：即代入，得，

所以曲线C2的普通方程为．

（2）因为m>1，所以上的点在在椭圆E：外，

当x>0时，曲线的方程化为，

代入，得，（*）

因为，

所以方程（*）有两个不相等的实根x1，x2，

又，，所以x1>0，x2>0，

所以当x>0时，曲线C2与曲线C3有且只有两个不同的公共点，

又因为曲线C2与曲线C3都关于y轴对称，

所以当x<0时，曲线C2与曲线C3有且只有两个不同的公共点，

综上，曲线C2与曲线C3：y=m|x|-m的公共点的个数为4．