Question

2020年，新冠状肺炎疫情牵动每一个中国人的心，危难时刻众志成城，共克时艰，为疫区助力．福建省漳州市东山县共101个海鲜商家及个人为缓解武汉物质压力，募捐价值百万的海鲜输送武汉．东山岛，别称陵岛，形似蝴蝶亦称蝶岛，隶属于福建省漳州市东山县，是福建省第二大岛，中国第七大岛，介于厦门市和广东省汕头之间，东南是著名的闽南渔场和粤东渔场交汇处，因地理位置发展海产品养殖业具有得天独厚的优势．根据养殖规模与以往的养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布．

（1）随机购买10只该商家的海产品，求至少买到一只质量小于265克该海产品的概率；

（2）2020年该商家考虑增加先进养殖技术投入，该商家欲预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．现用以往的先进养殖技术投入（千元）与年收益增量（千元）．的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近，且，，其中．根据所给的统计量，求y关于x的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．

附：若随机变量，则;

对于一组数据，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．

Answer

（1）0.0129．（2），年收益增量为576.6千元．

【解析】

（1）由单只海产品质量，可知，表示，根据附加条件可得单次小于265g的概率，根据所求表示为10次独立重复试验，即，计算既得答案；

（2）从已知条件中缕清需要的已知，其中，，即所求回归方程应为，所以由求得，再由求得，既得回归方程，代入，既得所预测收入值.

【解析】
（1）由已知，单只海产品质量，则，

由正态分布的对称性可知，

，

设购买10只该商家海产品，其中质量小于265g的为X只，故，

故，

所以随机购买10只该商家的海产品，至少买到一只质量小于265克的概率为0.0129．

（2）由，

有，

且，

所以y关于x的回归方程为，

当时，年销售量y的预报值千元．

所以预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量为576.6千元．