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已知函数有两个零点. (1)求的取值范围; (2)记的极值点为,求证:.

已知函数有两个零点.

1)求的取值范围;

2)记的极值点为,求证:.

 

(1)(2)见解析 【解析】 (1)求导得,分类讨论求出函数的单调性,从而可求出答案; (2)由题意得,则,令函数,则,利用导数可求得,从而可得,可得,要证,只需,令,即证,令,求导后得函数的单调性与最值,由此可证结论. 【解析】 (1)因为, 当时,,在单调递增,至多只有一个零点,不符合题意,舍去; 当时,若,则;若,则, 所以在单调递增,在单调递减, 所以, 因为有两个零点,所以必须,则, 所以,解得, 又因为时,; 时,, 所以当时,在和各有一个零点,符合题意, 综上,; (2)由(1)知,且, 因为的两个零点为,所以,所以, 解得,令所以, 令函数,则, 当时,;当时,; 所以在单调递增,在单调递减, 所以,所以,所以, 因为,又因为,所以, 所以,即, 要证,只需, 即证,即证,即证, 令,再令,即证, 令,则, 所以在单调递增,所以, 所以,原题得证.
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