Question

在平面直角坐标系xOy中，对于⊙O：x²+y²＝1来说，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离S_P的定义如下：若P与O重合，S_P＝r；若P不与O重合，射线OP与⊙O的交点为A，S_P＝AP的长度（如图）．

（1）直线2x+2y+1＝0在圆内部分的点到⊙O的最长距离为_____；

（2）若线段MN上存在点T，使得：

①点T在⊙O内；

②∀点P∈线段MN，都有S_T≥S_P成立．则线段MN的最大长度为_____．

Answer

1 4

【解析】

（1）作出对应的图象，由图象可知当直线与2x+2y+1＝0垂直时对应的交点P，此时P到⊙O的距离最长，即得解；

（2）分析可得SP≤1，因此当线段MN过原点时，当线段MN过原点时，MN的最大长度为4，即得解.

作出对应的图象如图：

由图象可知当直线与2x+2y+1＝0垂直时对应的交点P，取得最小值，此时P到⊙O的距离最长，

此时OP，则AP＝1﹣OP＝1．

（2）∵点T在⊙O内，∴ST≤1，

∵ST≥SP成立，∴SP≤1，

∀点P∈线段MN，若P在圆内，都满足SP≤1；

若P在圆外，P必须在以原点为圆心，2为半径的圆的内部（含边界）

∴当线段MN过原点时，MN的最大长度为1+2+1＝4，