Question

如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；

（Ⅱ）求证：FC∥平面EAD；

（Ⅲ）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．

Answer

（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】

试题（Ⅰ）设与相交于点，连接，因为四边形为菱形，所以，且为中点，由，知，由此能够证明平面；（Ⅱ）因为四边形与均为菱形，所以，平面平面，由此能够证明平面；（Ⅲ）因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形，因为为中点，所以，故平面，由两两垂直，建立空间直角坐标系，设，因为四边形为菱形，，则，所以，，求得平面的法向量为，平面的法向量为，由此能求出二面角的余弦值.

试题解析：（Ⅰ）证明：设AC与BD相交于点O，

连接FO．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC中点．

又 FA=FC，所以 AC⊥FO．

因为 FO∩BD=O，

所以 AC⊥平面BDEF．

（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，

所以AD∥BC，DE∥BF，

所以 平面FBC∥平面EAD．

又FC⊂平面FBC，所以FC∥平面EAD．

（Ⅲ）【解析】
因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，

所以△DBF为等边三角形．

因为O为BD中点，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．

由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz． …（9分）

设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，

则BD=2，所以OB=1，．所以 ．

所以 ，．

设平面BFC的法向量为=（x，y，z），

则有，

取x=1，得．

∵平面AFC的法向量为=（0，1，0）．

由二面角A﹣FC﹣B是锐角，得|cos＜，＞|==．

所以二面角A﹣FC﹣B的余弦值为．