Question

如果无穷数列{a_n}的所有项恰好构成全体正整数的一个排列，则称数列{a_n}具有性质P．

（Ⅰ）若a_n（k∈N*），判断数列{a_n}是否具有性质P，并说明理由，

（Ⅱ）若数列{a_n}具有性质P，求证：{a_n}中一定存在三项a_i，a_j，a_k（i＜j＜k）构成公差为奇数的等差数列；

（Ⅲ）若数列{a_n}具有性质P，则{a_n}中是否一定存在四项a_i，a_j，a_k，a_l，（i＜j＜k＜l）构成公差为奇数的等差数列？证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）数列{an}具有性质P．见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）不一定存在，见解析

【解析】

（Ⅰ）分n为奇数，n为偶数讨论，研究an包含的数的情况，即得解;

（Ⅱ）考虑，令，从开始寻找第一个大于M的项，记为：,分为奇数，偶数讨论，分别构造，为公差为奇数的等差数列，即得证.

（Ⅲ）构造反例：为1，2，4，3，6，8，…,2k-1,4k-2,4k,…,利用反证法，即得证,

（Ⅰ）【解析】
∵an（k∈N*），∴数列{an}具有性质P．

理由如下：

当n为奇数，n∈N*时，an＝n+1包含所有的正偶数，

当n为偶数，n∈N*时，an＝n﹣1包含所有的正奇数，

∴无穷数列{an}的所有项恰好构成全体正整数的一个排列，

∴数列{an}具有性质P．

（Ⅱ）证明：不妨设

考虑，令，

从开始寻找第一个大于M的项，记为：，则中含有1，2，且为前j项中的最大项()

(i)若为奇数，，所以在之后，记为，则，为公差为奇数的等差数列;

(ii) 若为偶数，令，则，为公差为奇数的等差数列.

故结论成立.

（Ⅲ）不一定存在

例如为1，2，4，3，6，8，…,2k-1,4k-2,4k,…,

即每三项构成一组，第k组的通项公式为：2k-1,4k-2,4k，

假设存在4项构成公差为奇数的等差数列，则存在三项（偶数，奇数，偶数）成等差，

由于中，任意一项奇数后面的偶数都大于等于2，

因此不可能存在三项（偶数，奇数，偶数）成等差.

故假设不成立.