Question

已知函数.

（1）若，求的单调区间；

（2）若，证明有且仅有两个零点.

Answer

（1）的单调增区间为，单调减区间为（2）证明见解析

【解析】

（1）求导得到，记，得到，根据函数的导数的正负得到函数的单调性.

（2），得到函数单调性，证明分别在及各有一个零点，得到答案.

（1）当时，，，

记，，

时，，，，

时，，，..

在单调递减，单调递增.

的单调增区间为，单调减区间为.

（2）若，则，令得，

且时，，，.

在）单调递减，单调递增，

，，记，

由在上单调递减知，

，

共有个零点，且分别在及各有一个零点，得证.