Question

已知椭圆的长轴的长为4，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知菱形的顶点，在椭圆上，对角线所在直线的方程为，求直线的方程．

Answer

（1）（2）

【解析】

(1)由长轴的长为4，得，再可得的值，从而可得椭圆方程.
(2)有为菱形，所以，可设的方程为，且的中点在直线上，可以由的方程和椭圆方程联立，求出中点坐标代入直线求出，得到答案.

【解析】
（1）已知椭圆的长轴的长为4，离心率为

所以，，所以，

所以椭圆的方程为．

（2）因为四边形为菱形，所以．

于是可设直线的方程为．

由得．

因为，在椭圆上，所以，解得．

设，两点坐标分别为，，

则，，，．

所以．所以的中点坐标为．

由四边形为菱形可知，点在直线上，

所以，解得．

所以直线的方程为，即．