已知函数．（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）已知不等式在上恒成立，求...

已知函数．

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）已知不等式在上恒成立，求实数的最大值；

（3）当时，求函数的零点个数．

（1）见解析（2）（3）9个【解析】 (1) 当时，可得是偶函数，当时，可得是非奇非偶函数. (2) 当时, ,即将问题转化为在上恒成立，设，只要使．然后求出的导数，求出函数的最小值. （3）当时，，得到得或，问题即求和和三个方程总的解的个数．【解析】（1）函数定义域为，关于原点对称．当时，，，，则是定义在上的偶函数；当时，，，且，所以是非奇非偶函数．（2）当时，，即已知在上恒成立，即在上恒成立，令，只要使．，因为，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，即的最小值是，解不等式，得．所以实数的最大值是．（3）当时，，解得或，问题即求和和三个方程总的解的个数．由（1）得函数是偶函数，当时，，，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；所以，且由偶函数的性质，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增方程有3个解；方程有2个解；方程有4个解；所以函数的零点个数是9个．

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考点分析：

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如图，某市建有贯穿东西和南北的两条垂直公路，，在它们交叉路口点处的东北方向建有一个荷花池，荷花池的外围是一条环形公路，荷花池中的固定观景台位于两条垂直公路的角平分线上，与环形公路的交点记作．游客游览荷花池时，需沿公路先到达环形公路处.为了分流游客，方便游客游览荷花池，计划从靠近公路，的环形公路上选，两处（，关于直线对称）修建直达观景台的玻璃栈道，．以，所在的直线为，轴建立平面直角坐标系，靠近公路，的环形公路可用曲线近似表示，曲线符合函数．