Question

已知正项数列满足：，，其中．

（1）若，求数列的前项的和；

（2）若，．

①求数列的通项公式；

②记数列的前项的和为，若无穷项等比数列始终满足，求数列的通项公式．

Answer

（1）（2）①②

【解析】

（1）当，，求和时相邻两项组合得，然后再分组，利用等差、等比数列的前项和的公式求和.
（2）①当，时,由条件可得，即数列的奇数项和偶数项分别成公差为4的等差数列，分奇数项和偶数项分别求通项公式可得答案.
②由①可求出，由可得，则可以得到，再讨论当时，成立，所以，时可用反证法说明不成立.

【解析】
（1）当时，，记数列的前项的和为；

（2）①当，时，由，所以

，

所以

所以数列的奇数项和偶数项分别成公差为4的等差数列，

所以，

所以；

②由①可知

设等比数列的公比为，

因为无穷项等比数列始终满足，

所以当时，，所以，

所以，

由，所以

当时，成立，所以；

当时，下证对任意不恒成立，

要证，即证

先证，从而得到，即

下证对任意的不恒成立，

令，所以要证对任意的不恒成立，

所以存在，当时，

所以对任意的不恒成立．

所以当时，对任意不恒成立，

所以，所以．