Question

己知函数f（x）对x∈R均有f（x）+2f（﹣x）＝mx﹣6，若f（x）≥lnx恒成立，则实数m的取值范围是_________.

Answer

【解析】

根据条件利用解方程组法求出f（x）的解析式，然后由f（x）≥lnx恒成立，可得m恒成立，构造函数，求出g（x）的最小值，可进一步求出m的范围．

∵函数f（x）对x∈R均有f（x）+2f（﹣x）＝mx﹣6①，

∴将﹣x换为x，得f（﹣x）+2f（x）＝﹣mx﹣6②，

∴由①②，解得f（x）＝﹣mx﹣2．

∵f（x）≥lnx恒成立，∴m恒成立，

∴只需m．

令，则g'（x），

令g'（x）＝0，则x，

∴g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，

∴，∴m≤﹣e，

∴m的取值范围为（﹣∞，﹣e]．

故答案为：（﹣∞，﹣e]．