Question

已知函数．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）设a＝4，且，求证：．

Answer

（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减

（2）证明见解析

【解析】

（1）求导，判断单调性即可；（2）x₁＜x₂∈（0，1），则f（x1）＜f（x2），即，得到，即得，再利用三角函数cos2x∈（），所以，代入即可证明．

（1）易知的定义域为，

，

当时，恒成立，所以在上单调递减.

当时，

由，解得；

由，解得.

所以在上单调递增，在上单调递减，

综上所述，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）当时，，

由（1）可知在上单调递增.

设，且，则，即，

所以，所以.

因为，所以.

所以，即，

因为，所以，所以.

所以.

综上可得，.