Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD菱形，,平面平面 ABCD， .E，F 分别是线段 SC，AB 上的一点, .

（1）求证：平面SAD;

（2）求平面DEF与平面SBC所成锐二面角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析

（2）

【解析】

（1）先证明平行四边形AGEF，得到AG∥EF，再证明EF∥平面SAD；

（2）以OA，OB，OS所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图，求出平面DEF的法向量和平面SBC的一个法向量，利用向量的夹角公式求出二面角的余弦值，从而求出平面DEF与平面SBC所成锐二面角的正弦值．

（1）过点E作EG∥DC，如图，连接AG，因为，所以，

故EG∥CD，EG，由，AF，

因为菱形ABCD，所以EG∥AF，EG＝AF，

故平行四边形AGEF，所以AG∥EF，

又平面，平面，所以平面.

（2）取AD中点O，等腰三角形SAD，故SO⊥AD，连接OB，

菱形ABCD，∠ADC＝120°，所以OB⊥OA，

又平面SAD⊥平面ABCD所以SO⊥平面ABCD，

以OA，OB，OS所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图，

因为SA＝SD＝3，所以AD＝AB＝CD＝6，SO＝3，

∠ADC＝120°，所以AF＝2，OB，AO＝OD＝3，

所以A（3，0，0），D（﹣3，0，0），S（0，0，3），

F（2，，0），B（0，3，0），C（﹣6，3，0），

又（﹣2，，﹣1），得E（﹣2，，2），

所以，，，，

设平面DEF的一个法向量为，

由，得，故

设平面SBC的一个法向量为，

由，得，故，

所以，

平面DEF与平面SBC所成锐二面角的正弦值为．