Question

已知抛物线，其焦点为，直线过点与交于、两点，当的斜率为时，.

（1）求的值；

（2）在轴上是否存在一点满足（点为坐标原点）？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）2；（2）存在，.

【解析】

（1）设，，联立直线与抛物线的方程可得到，进而表示出，即可求出

（2）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程可得到，，然后条件可转化为，即，运用此式可得到

（1），当直线的斜率为时，其方程为，

设，，由，得，

把代入抛物线方程得，

所以，所以，

所以.

（2）由（1）可知，抛物线，，

由题意可知，直线的斜率存在，

设其方程为，将其代入抛物线方程为，

则，，

假设在轴上存在一点满足，

则，即，

即，

所以，即，

由于，所以，即，

即在轴上存在点满足.