Question

已知函数，.

（1）设函数，若是函数的唯一极值点，求实数的取值范围；

（2）若函数有两个零点，，证明：.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）先求出，然后由函数有唯一极值点可得，即，然后求出的最小值即可

（2）由条件可得，然后即证，设，即证，然后令，则，即证

由，可得，

∵函数有唯一极值点，∴，即恒成立，

设，则，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增，

所以，所以，即实数的取值范围是.

（2），∵，是函数的两个零点，

∴，，∴，

∴.

要证，即证.

设，则

等价于，

即证，

令，且，即证，则，

则,令，则，

故在上单调递增，故，

所以函数在上单调递增，所以.

即对任意恒成立，所以.