Question

已知函数，向量，，函数.

（Ⅰ）求的极值；

（Ⅱ）判断在区间内的零点个数.

Answer

（Ⅰ）极小值为，没有极大值；（Ⅱ）在区间内有一个零点.

【解析】

（Ⅰ）利用导数研究函数的单调性，由此可求出函数的极值；

（Ⅱ）求出函数的解析式，利用导数判断函数在区间上的单调性，结合零点存在定理即可判断出函数在区间上的零点个数.

（Ⅰ）函数的定义域为，

，

令，则，令，得，

由，得，由，得，

所以，函数在上单调递减，在上单调递增.

所以，

于是，由得，由得，

所以，函数在上递减，在上递增.

所以，函数的极小值为，没有极大值；

（Ⅱ）.

，

当时，，，所以，，

所以，所以，函数在上单调递增

又因为，，

因此，函数在区间内有一个零点.