Question

已知椭圆的右焦点为F，过点的直线l与E交于A，B两点.当l过点F时，直线l的斜率为，当l的斜率不存在时，.

（1）求椭圆E的方程.

（2）以AB为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

Answer

（1）.（2）以AB为直径的圆恒过定点.

【解析】

（1）根据直线的斜率公式求得的值，由，即可求得的值，求得椭圆方程；

（2）当直线的斜率存在，设直线的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及以直径的圆的方程，令，即可求得，即可判断以为直径的圆过定点．

（1）设椭圆半焦距为c，由题意，所以.

l的斜率不存在时，，所以，.

所以椭圆E的方程为.

（2）以AB为直径的圆过定点.

理由如下：

当直线的斜率存在时，设的方程，，，，，

联立方程组，消去，

整理得，

所以，，

所以，，

以为直径的圆的方程：，

即，

令，则，

解得或，

所以为直径的圆过定点．

当直线l的斜率不存在时，，，

此时以AB为直径的圆的方程为.

显然过点．

综上可知，以为直径的圆过定点．