Question

已知，其中.

（1）当时，求函数单调递增区间；

（2）求函数的图象在点处的切线方程；

（3）是否存在实数的值，使得在上有最大值或最小值，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）和；（2）；（3）存在，或.

【解析】

（1）由题意，当时，求得，令，即可求解函数的单调递增区间；

（2）由，求得和，结合直线的点斜式方程，即可求解；

（3）令，，求得，，结合和，分类讨论，即可求解.

（1）由题意，当时，，则，

令，解得或，

所以函数的单调递增区间为和.

（2）由函数，可得，

解得且，

所以函数的图象在点处的切线方程为，

即.

（3）由

令，，

可得，.

①当时，即时，，

所以，

所以在上单调递增，

所以在上不存在最大值和最小值.

②当即或时，

设方程的两根为

，随的变化情况如下表：

0

0

递增

极大值

递减

极小值

递增

当时，，；

当时，.

所以要使在上有最大值或最小值，只需满足，即有解.

所以，

解得或.

综上可得或.