Question

如图，在三棱锥中，侧面与底面垂直，、分别是、的中点，，，.

（1）求证：平面；

（2）若是线段上的任意一点，求证：；

（3）求三棱锥的体积.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）根据、分别是、的中点，结合三角形中位线定理，及线面平行的判定定理，可得平面；

（2）由平面平面，结合面面垂直的性质定理可得平面，可得结合及线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的性质可得结论；

（3）先证明平面，利用三棱锥体积公式即可求解．

（1）、分别是、的中点，，

平面，平面，平面；

（2），，

平面平面，平面平面，平面，

平面，平面，，

，，则，，

，平面，平面，平面.

平面，；

（3）平面，，平面.

平面，平面，.

且，，，

所以，三角形的面积为.

因此，三棱锥的体积.