Question

已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，讨论函数的单调区间.

Answer

（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）根据题意，由即可得函数的解析式，进而求出函数的导数，据此计算可得与的值，由导数的几何意义分析可得切线的方程，变形即可得答案；

（2）根据题意，求出函数的导数，对的值进行分情况讨论，分析函数的单调性，综合即可得答案．

（1）若，，导函数为，则，.

则所求切线方程为，即；

（2）当时，，

令，可得或.

①当时，即当.

令，可得或；令，可得.

此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；

②当时，即当时，对任意的，，

此时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；

③当时，即当时.

令，可得或；令，可得.

此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.

综上所述，当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；

当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.