Question

已知抛物线经过点，过作倾斜角互补的两条不同直线、.

 

（1）求抛物线的方程及准线方程；

（2）设直线、分别交抛物线于、两点（均不与重合，如图），记直线的斜率为正数，若以线段为直径的圆与抛物线的准线相切，求的值.

Answer

（1）抛物线的方程为，准线方程为；（2）.

【解析】

（1）代入的坐标，解方程可得，即得到抛物线的方程和准线方程；

（2）设直线的方程为，联立抛物线的方程，可得的方程，运用韦达定理可得的坐标，将换为，可得的坐标，求得的长和中点坐标，可得所求圆的半径和圆心，由直线和圆相切的条件，求得．

（1）由于在抛物线上，所以，即，

故所求抛物线的方程为，其准线方程为；

（2）设直线的方程为，

将直线的方程与抛物线的方程联立，

消去得，

设点，，由韦达定理得，可得，

所以，点的坐标为，

同理可知，点的坐标为，

，

线段的中点坐标为，

因为以为直径的圆与准线相切，，解得.