Question

已知椭圆，为右焦点，圆，为椭圆上一点，且位于第一象限，过点作与圆相切于点，使得点，在的两侧.

（Ⅰ）求椭圆的焦距及离心率；

（Ⅱ）求四边形面积的最大值.

Answer

（Ⅰ）,；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）利用椭圆的几何性质求椭圆的焦距及离心率. （Ⅱ）设（，），先求出四边形面积的表达式，再利用基本不等式求它的最大值.

（Ⅰ）在椭圆：中，，，

所以，

故椭圆的焦距为，离心率．

（Ⅱ）设（，），

则，故．

所以，

所以，

．

又，，故．

因此

．

由，得，即，

所以，

当且仅当，即，时等号成立.