Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，是等腰三角形，且.四边形ABCD是直角梯形，，，，，.

（1）求证：平面PDC.

（2）请在图中所给的五个点P，A，B，C，D中找出两个点，使得这两点所在直线与直线BC垂直，并给出证明.

（3）当平面平面ABCD时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.

Answer

（1）详见解答；（2），证明见解答；（3）.

【解析】

（1）由已知，即可证明结论；

（2）根据已知条件排除，只有可能与垂直，根据已知可证；

（3）利用垂直关系，建立空间直角坐标系，求出坐标和平面PAB的法向量，即可求解.

（1）平面平面，

平面；

（2），证明如下：

取中点，连，

，

，，

平面平面，

平面，；

（3）平面平面ABCD，平面平面ABCD，

平面平面，

.四边形ABCD是直角梯形，，，，

，，

以为坐标原点，以，过点与平行的直线分别为轴，

建立空间直角坐标系，则，

，

设平面的法向量为，

则，即，

，令，则，

平面一个法向量为，

设直线PC与平面PAB所成角为，

，

直线直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.