Question

已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM与y轴交于点P．

（Ⅰ）若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；

（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且∠PFQ=90°，求证：AQ∥BM．

Answer

（Ⅰ）（-，0）（0，）（Ⅱ）详见解析

【解析】

（Ⅰ）根据题意可得得c2＝a2﹣2，由e，解得即可出椭圆的方程，再根据点在其内部，即可线AM的斜率的取值范围，

（Ⅱ）题意F（，0），设Q（0，y1），M（x0，y0），其中x0≠±2，则1，可得直线AM的方程y（x+2），求出点Q的坐标，根据向量的数量积和斜率公式，即可求出kBM﹣kAQ＝0，问题得以证明

【解析】
（Ⅰ）由题意可得c2=a2-2，

∵e==，

∴a=2，c=，

∴椭圆的方程为+=1，

设P（0，m），由点P在椭圆C的内部，得-＜m＜，

又∵A（-2，0），

∴直线AM的斜率kAM==∈（-，），

又M为椭圆C上异于A，B的一点，

∴kAM∈（-，0），（0，），

（Ⅱ）由题意F（，0），设Q（0，y1），M（x0，y0），其中x0≠±2，

则+=1，

直线AM的方程为y=（x+2），

令x=0，得点P的坐标为（0，），

由∠PFQ=90°，可得•=0，

∴（-，）•（-，y1）=0，

即2+•y1=0，

解得y1=-，

∴Q（0，-），

∵kBM=，kAQ=-，

∴kBM-kAQ=+=0，

故kBM=kAQ，即AQ∥BM