Question

数列：满足：，或1（）．对任意，都存在，使得．，其中 且两两不相等．

(I)若．写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；

①1,1,1,2,2,2;②1,1,1,1,2,2,2,2;③1,l,1,1,1,2,2,2,2

(Ⅱ)记．若，证明：；

(Ⅲ)若，求的最小值.

Answer

(Ⅰ) ②③(Ⅱ)见解析（Ⅲ）的最小值为

【解析】

试题（Ⅰ）依据定义检验给出的数列是否满足要求条件．（Ⅱ）当时，都在数列中出现，可以证明至少出现4次，2至少出现2次，这样． （Ⅲ）设出现频数依次为．同（Ⅱ）的证明，可得：，，，┄，，，，则，我们再构造数列：

，证明该数列满足题设条件，从而的最小值为．

解析：（Ⅰ）对于①，，对于，或，不满足要求；对于②，若，则，且彼此相异，若，则，且彼此相异，若，则，且彼此相异，故②符合题目条件；同理③也符合题目条件，故符合题目条件的数列的序号为②③．

注：只得到 ② 或只得到 ③ 给[ 1分]，有错解不给分．

（Ⅱ）当时，设数列中出现频数依次为，由题意．

① 假设，则有（对任意），与已知矛盾，所以．同理可证：．

② 假设，则存在唯一的，使得．那么，对，有（两两不相等），与已知矛盾，所以.

综上：，，，所以．

（Ⅲ）设出现频数依次为．同（Ⅱ）的证明，可得：，，，┄，，，，则．

取得到的数列为：

下面证明满足题目要求．对，不妨令，

① 如果或，由于，所以符合条件；

② 如果或，由于，所以也成立；

③ 如果，则可选取；同样的，如果，

则可选取，使得，且两两不相等；

④ 如果，则可选取，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上，对任意，总存在，使得，其中且两两不相等．因此满足题目要求，所以的最小值为．