Question

如图，已知平行四边形和矩形所在平面垂直，其中为棱的中点，为的中点.

（1）求证:；

（2）若点到平面的距离是，求多面体的体积.

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）首先连接，，根据面面垂直的性质得到平面，根据线面垂直的性质得到.根据可得到，再根据线面垂直的判定即可证明平面，即证.

（2）首先取中点，连接，根据平面得到点到平面的距离就是，取中点，连接，利用面面垂直的性质即可证明为三棱柱的高，再求其体积即可.

（1）连接，因为为正三角形，为棱的中点，

所以，因为，从而，

又平面平面，平面，

所以平面.

又平面，

所以.①

设，所以，

又，所以，

所以.

又，所以.

则，②

由①②及，可得平面.

所以.

（2）取中点，连接，则，

则平面，

因为平面，

故点到平面的距离就是点到平面的距离.

故，因，得，则，

取中点，连接，因为为正三角形，所以.

因为平面平面，

平面，.

所以平面，

所以为三棱柱的高，

由已知可得，，

所以三棱柱的体积.