已知椭圆的离心率为为其左、右顶点，为椭圆上除外任意一点，若记直线的斜率分别为（...

已知椭圆的离心率为为其左、右顶点，为椭圆上除外任意一点，若记直线的斜率分别为

（1）求证:为定值；

（2）若椭圆的长轴长为，过点作两条互相垂直的直线，，若恰好为与椭圆相交的弦的中点，设为与椭圆相交的弦的中点，求线段的长.

（1）详见解析；（2）. 【解析】（1）首先设，，，得到，.再计算即可. （2）首先根据长轴长为求出椭圆的标准方程，利用点差法可求出的斜率，因为，可求出的直线方程，再把和椭圆方程联立，利用韦达定理可求出点的坐标，再用两点之间距离公式即可求出线段的长. （1）由题意，，设，则，. 又在椭圆上，所以，所以. 所以为定值. 因为，所以，所以椭圆方程为. 设与椭圆交点为，与椭圆交点为，则，两式相减得: 因为，，所以所以，即，因为，所以. 所以直线的方程为:，即. 由，消去得. 所以，所以，. 即与椭圆相交的弦的中点的坐标为， . 即线段的长为.

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考点分析：

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