Question

已知矩形的对角线交于点，边所在直线方程为，边所在的直线方程为.

（1）求矩形的外接圆的方程；

（2）已知直线：，求证：直线与矩形的外接圆恒相交，并求出弦长最短时的直线的方程.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）由边所在直线方程为，和边所在的直线方程为，求得交点即为圆心，再求得半径，写出外接圆的方程.

（2）先探究直线：过定点，再论证定点一定在圆内即可，当圆心与定点连线与弦垂直时，弦最短.

（1）由，

解得：，即.

，

所以外接圆的方程：

（2）证明：直线方程化为：，

由，解得：，即直线恒过定点.

又，所以点在圆内.

故直线与矩形的外接圆恒相交..

当时，此时直线被圆截得的弦长最短

，，所以直线的方程：.