Question

已知函数．

（1）若曲线在处切线的斜率为，求此切线方程；

（2）若有两个极值点，求的取值范围，并证明：．

Answer

（1）；（2）,证明见解析.

【解析】

（1）在处切线的斜率为，即，得出，计算f(e)，即可出结论

（2）①有两个极值点得=0有两个不同的根，即

有两个不同的根，令，利用导数求其范围，则实数a的范围可求；

有两个极值点，利用在(e,+∞)递减，，即可证明

（1）∵，∴，解得，

∴，故切点为，

所以曲线在处的切线方程为．

（2），令=0，得．

令，则，

且当时，；当时，；时，．

令，得，且当时，；当时，．

故在递增，在递减，所以．

所以当时，有一个极值点； 时，有两个极值点；

当时，没有极值点．综上，的取值范围是．

（方法不同，酌情给分）

因为是的两个极值点，所以即…①

不妨设，则，，

因为在递减，且，所以，即…②．

由①可得，即，

由①，②得，所以．