Question

已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调区间.

Answer

（1）（2）当时，函数的增区间是（0,1），减区间是；当时，函数的增区间是和，减区间是；当时，函数增区间是，没有减区间；当时，函数的增区间是（0,1）和，减区间是.

【解析】

（1）求导，根据导数的几何意义，写出切线方程的点斜式方程，整理化简即可；

（2）求导，根据参数对导数正负的影响对参数进行分类讨论，求得对应的单调性和单调区间.

（1）若，，导函数为.

依题意，有，

则切线方程为，

即.

（2），

①当时，，由，得，

则函数的增区间是（0,1），减区间是；

②当时，由，得，

再讨论两根的大小关系；

⒈当时，，由，得或者，

则函数的增区间是和，减区间是；

⒉当时，，

则函数的增区间是，没有减区间；

⒊当时，，由，得或者，

则函数的增区间是（0,1）和，减区间是；

综上，当时，函数的增区间是（0,1），减区间是；

当时，函数的增区间是和，减区间是；

当时，函数增区间是，没有减区间；

当时，函数的增区间是（0,1）和，减区间是.