Question

已知集合，集合是集合S的一个含有8个元素的子集.

（1）当时，设，

①写出方程的解（）；

②若方程至少有三组不同的解，写出k的所有可能取值；

（2）证明：对任意一个X，存在正整数k，使得方程至少有三组不同的解.

Answer

（1）①②4，6.（2）证明见详解.

【解析】

（1）①根据两个元素之差为3，结合集合的元素，即可求得；

②根据题意要求，写出集合X中从小到大8个数中所有的差值（限定为正数）的可能，计算每个差值出现的次数，即可求得；

（2）采用反证法，假设不存在满足条件的k，根据差数的范围推出矛盾即可.

（1）①方程的解有：.

②以下规定两数的差均为正，则：

列出集合X的从小到大8个数中相邻两数的差：1,3,2,4,2,3,1；

中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）：4,5,6,6,5,4；

中间相隔二数的两数差：6,9,8,9,6；

中间相隔三数的两数差：10,11,11,10；

中间相隔四数的两数差：12,14,12；

中间相隔五数的两数差：15,15；

中间相隔六数的两数差：16.

这28个差数中，只有4出现3次、6出现4次，其余都不超过2次，

所以k的可能取值有4，6.

（2）证明：不妨设，记，

，共13个差数.假设不存在满足条件的k，

则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6，

从而 ①

又

，这与①矛盾.

故假设不成立，结论成立.

即对任意一个X，存在正整数k，使得方程至少有三组不同的解.